设函数f(x)可导且满足关系式[2f(t)-1]dt=f(x)-1,求f(x).

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设函数f(x)可导且满足关系式[2f(t)-1]dt=f(x)-1,求f(x).

方程两边关于x求导,(∫0x[2f(t)-1]dt)′=[f(x)-1]′,得 2f(x)-1=f′(x),又x=0左端为0,故f(0)=1,所以y=f(x) 是微分方程y′-2y=-1满足初始条件y(0)=1的特解.先求通解 y=e∫2dx[∫(-1)e∫(-2)dxdx+C] =e2dx[1/2x] 以x=0,y=1代入得C=1/2,所以f(x)=1/2(1+e2x)

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