求微分方程dy/dx=xy/(x2-y2)满足初始条件y(0)=1的特解.

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求微分方程dy/dx=xy/(x2-y2)满足初始条件y(0)=1的特解.

方程变形为dy/dx=(y/x)/[1-(y/x)2],令y/x=u,y=xu,则dy/dx=u+xdu/dx,因此 u+x(du/dx)=u/(1-u2),x(du/dx)=u/(1-u2)-u=u3/(1-u2) 分离变量得[(1-u2)/u3]du=dx/x,∫[(1-u2)/u3]du=∫dx/x 因此-(1/2u2)-lnu=lnx+C′=lnx+lnC=lnCx, -(1/2u2)=In(C•xu),Cxu=e-(1/2u2), 再以u=y/x代入,得通解为Cy=e-(x2/2y2);以x=0时,y=1代入, 求出C=1,所以特解为Y=e-(x2/2y2)

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