已知可导函数f(x)满足f(x)=1+∫0xtf(t)dt,求函数f(x).

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已知可导函数f(x)满足f(x)=1+∫0xtf(t)dt,求函数f(x).

由f(x)=1+∫0xtf(t)dt,两边同时求导得: f′(x)=xf(x),即df(x)/dx=xf(x) ∴df(x)/f(x)=xdx ∴∫df(x)/f(x)=∫xdx ∴lnf(x)=x2/2+C1 ∴elnf(x)=ex2/2+C1=eC1•ex2/2 ∴f(x)=C•ex2/2.(C=eC1).

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