为自己加油

计算
I=∭_Ω(x²+y²)dυ
其中Ω为平面曲线
{y²=2z
{x=0
绕z轴旋转一周形成的曲面与平面z一8所围成的区域．

平面曲线 {y²=2z {x=0 绕z轴旋转一周形成的曲面方程为x²+y²=2z，Ω在Oxy平面上投影区域为圆盘x²+y²≤16，利用柱面坐标计算I时，积分限为：0≤θ≤2π，0≤r≤4，r²/2≤z≤8．也可以利用平行于Oxy平面的截面Ω，当0≤z≤8时，截面方程为z=z，x²+y²≤2z． I=∫₀^2πdθ∫₀⁴rdr∫_r²/2⁸r²dz =2π∫₀⁴r³(8-r²/2)dr=1024π/3．