为自己加油

设对于半空间z>0内任意的光滑有向闭曲线面S都有
∯_Sxf(x)dydz-xyf(x)dzdx-e^2xdxdy=0
其中函数f(x)在(0，+∞)内具有连续的一阶导数，且lim_x→0⁺f(x)=1，求f(x)．

由题设和高斯公式可得 0= ∯_sxf(x)dydz-xyf(z)dzdx-e^2xdxdy =±∭_υ(xf′(x))+f(x)-xf(x)-e^2xdυ 其中υ为s围成的有界闭区域，当有向曲面s的法向量指向外侧时，取“+”号，当有向曲面S的法向量指向内侧时，取“-”号，由S的任意性知 xf′(x)+f(x)-xf(x)-e^2x=0 x＞0 即 f′(x)+(1/x-1)f(x)=(1/x)e^2x x＞0 由一阶线性非齐次微分方程通解公式有 f(x)=e^∫(1-1/x)dx[∫(1/x)e^2xe^∫(1/x-1)dx+C] =e^x[(1/x)e^2x•xe^-xdx+C]=e^x[e^x+C] 由于 lim_x→0+f(x)=lim_x→0+[(e^2x+Ce^x)/x]=1 故必有lim_x→0+(e^2x+Ce^x)=0 即 C+1=0 从而 C=-1 于是 f(x)=e^x/x(e^x-1)．