∫∫∫Ω1/(1+x2+y2)dυ，其中Ω是锥面x2+y2=z2
及平面z=1所围区域．
积分区域Ω在Oxy平面上的投影区域为D={(x，y)∣x 2+y2≤1} ={(r，θ)∣0≤θ≤2π，0≤r≤1}，又z2=x2+y2=r2， 因此r≤z≤1，积分区域Ω的柱坐标表示为Ω={(r，θ，z)∣0≤0≤2π，0≤r≤1，r≤z≤1} 所以利用柱坐标计算三重积分得 ∫∫∫Ω[1/(1+x2+y2)]dυ=∫02πdθ∫01 dr∫r1[1/(1+r2)]rdz =2π∫01[r/(1+r2)]•z∣r1•dr=2π ∫01[r(1-r)/(1+r2)]dr =2π{1/2∫01[1/(1+r2)]d(1+r2)-∫01 [(1+r2-1)/(1+r2)]dr} =2π[(1/2)ln(1+r2)∣01-r∣01+arctanθ∣01] =πln2-2π+π2/2
