函数f(x)={x,0≤x≤1/2
2-2x,1/2﹤x≤1
的正弦级数展开式为____．
f(x)-∑n=0∞[(1/nπ)cos(nπ/2)+6/(nπ)2sin(nπ)/2]sinnπx (x∈[0，1/2)∪(1/2,1]). 解析: 因为 bn=2/1∫01f(x)sinnπxdx =2 [∫01/2xsinnπxdx+∫1/21(2-2x)sinnπxdx]=2[-1/nπ∫01/2xdcosnπx-1/n∫1/2 1(2-2x)dcosnπx] ={-1/nπ[xcosnπx∣01/2-∫01/2cosnπxdx] -1/nπ[(2-2x)cosnπx∣1/21+2∫1/21 cosnxdx]}=2{-1/nπ[(1/2)cos(nπ/2)-(1/nπ)sin(nπ/2)]-1/nπ[-cos(nπ/2)-(2/nπ)sin(nπ/2)]} =1/nπcos(nπ/2)+6/(nπ)2sin (nπ/2)(n=1，2，…) 所以f(x)的正弦级数展开式为． f(x)=∑n=0∞[1/nπcos(nπ/2)+6/(nπ)2sin (nπ/2)]sinnπx (x∈[0，1/2)∪(1/2,1])．
