求幂级数∑n=1∞nxn-1的和函数．
由于limn→∞∣an+1/an∣=limn→∞(n+1)/n=1, 所以收敛半径R=1，设在(-1，1)内， S(x)=∑n=1∞nxn-1=1+2x+3x2+…+nxn-1+… 则根据幂级数的运算性质，有 ∫0xS(x)dx=∑n=1∞∫0xnxn-1dx= ∑n=1∞xn=x(1+x+x2+…+xn-1+…)=x/(1-x)(-1﹤x﹤1)， 所以S(x)= [x/(1-x)]′=1/(1-x)2 (-1﹤x﹤1)．
求幂级数∑n=1∞nxn-1的和函数．
由于limn→∞∣an+1/an∣=limn→∞(n+1)/n=1, 所以收敛半径R=1，设在(-1，1)内， S(x)=∑n=1∞nxn-1=1+2x+3x2+…+nxn-1+… 则根据幂级数的运算性质，有 ∫0xS(x)dx=∑n=1∞∫0xnxn-1dx= ∑n=1∞xn=x(1+x+x2+…+xn-1+…)=x/(1-x)(-1﹤x﹤1)， 所以S(x)= [x/(1-x)]′=1/(1-x)2 (-1﹤x﹤1)．
