设α1=2，αn+1=1/2(αn+1/αn)(n=1，2，…)，证明：
(1)limn→∞αn存在；
(2)级数∑∞n=1(αn/αn+1-1)收敛．
(1)由于 αn+1=1/2(αn+1/αn)≥√αn•1/αn=1 αn+1-αn=1/2(αn+1/αn)-αn=(1-αn2)/2αn≤0 故{αn}递减且有下界，所以limn→∞αn存在． (2)由(1)知 0≤αn/αn+1-1=(αn-αn+1)/αn+1≤αn-αn+1 记 sn=∑∞n=1(αk-αk+1)=α1-αn+ 因limn→∞αn+1存在，故limn→∞sn存在，所以级数∑∞n=1(α1-αn+1)收敛 由比较审敛法知，级数∑∞n=1(αn/αn+1-1)收敛．
