已知f(x)满足f′n(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数)，且fn(1)=e/n，求函数项级数∑∞n=1fn(x)之和．
由已知条件可见 f′n(x)-fn(x)=xn-1ex 其通解为 fn(x)=e∫dx[∫xn-1exe-∫dxdx+C]=ex(xn/n+C) 由条件fn(1)=e/n得C=0 故 fn (x)=xnex/n 从而 ∑∞n=1fn∑∞n=1(xnex/n)=ex∑∞n=1xn/n 记s(x)=∑∞n=1xn/n，其收敛域为[-1，1] 当X∈(-1，1)时，有 s′(x)=∑∞n=1xn-1=1/(1-x) 故 s(x)=∫0x1/(1-t)dt=-ln(1-x) 当x=-1时，∑∞n=1fn(x)=-e-1ln2 于是，当-1≤x＜1时，有 ∑∞n=1fn(x)=-exln(1-x)
