将函数f(x)=ln(x2+1)展开为z的幂级数．
∵f′(x)=2x/(1+x2) =2x∑n=0∞(-x2)n ∣x∣﹤1 =∑n=0∞2(-1)nn2n+1 ∣x∣﹤1 ∴f(x)=∫0xf′(x)dx=∑n=0∞2(-1)n[1/(2n+2)]x2n+2∣x∣﹤1 =∑n=1∞[(-1)n-1/n]x2n ∣x∣﹤1. 又∵当∣x∣=1时，级数∑n=1∞[(-1)n-1/n]x2n 收敛． ∴ln(1+x2)=∑n=1∞[(-1)n-1/n]x2n ∣x∣≤1．
将函数f(x)=ln(x2+1)展开为z的幂级数．
∵f′(x)=2x/(1+x2) =2x∑n=0∞(-x2)n ∣x∣﹤1 =∑n=0∞2(-1)nn2n+1 ∣x∣﹤1 ∴f(x)=∫0xf′(x)dx=∑n=0∞2(-1)n[1/(2n+2)]x2n+2∣x∣﹤1 =∑n=1∞[(-1)n-1/n]x2n ∣x∣﹤1. 又∵当∣x∣=1时，级数∑n=1∞[(-1)n-1/n]x2n 收敛． ∴ln(1+x2)=∑n=1∞[(-1)n-1/n]x2n ∣x∣≤1．
