设某工厂生产甲产品的数量S(吨)与所用两种原料A、B的数量x、y(吨)间有关系式S(x，y)=0．005x2y，现准备向银行贷款150
万元购原料，可知A、B原料每吨单价分别为1万元和2万元，问怎样购进两种原料，才能使生产的数量最多?
据题意可归结为求函数S(x，y)=0．005x2y在约束条件x+2y=150下的最大值，故可用拉格朗日乘法求解． 作拉格朗日函数 F(x，y，λ)=0．00 5x2y+λ(x+2y-150) 求F的各一阶偏导数，并令其等于零，得： {F′x=0.01xy+λ=0 F′y=0.005x2+2λ=0 F′λ，x+2y-150=0 解得x=100，y=25，λ=-25． 是惟一的一个驻点，且实际问题的最大值是存在的，因此驻点(100，25)也是函数S(x，y)最大值点，最大值为 S(100，25)=0.005×1002×25=1250(吨) 即购买A原料1 00吨，B原料25吨，可使生产量达到最大值1250吨．
